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正文

作者:数学

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作者:Blue_sdo

[h1]我是可爱的问题[/h1] [article3]1. 类比梯形面积公式，理解匀变速直线运动的位移公式，下面给出(100灵石)[/article3][math]x=v_0 t+\frac{1}{2} at^{2}[/math] [article3]2. 用积分法，推导圆的面积公式(100灵石)[/article3] [article3]3. 思考微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），为什么使用反导数就可以避免用极限方法来求面积？(100灵石)[/article3] [article3]4. 理解罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理(300灵石)[/article3]

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【思维训练四】微积分（二）

作者:Blue_sdo

为了回答【思维训练三】的最后一问“探索球的体积公式”，我们来认识一些概念。#7126!

一、极限我们观察反比例函数 [math]y=\frac{k}{x} \left ( k > 0 \right )[/math] 的图像：

[attach]494293[/attach]

很容易就能发现这些性质啦！自变量x的取值范围（定义域）：[math]- \infty \leq x \leq + \infty[/math] 因变量y的取值范围（定义域）：[math]- \infty \leq y \leq 0[/math]和[math]0 \leq y \leq + \infty[/math] 在x轴正半轴，随着x的增大，函数值y越来越靠近0 在x轴负半轴，随着x的减小，函数值y越来越靠近0 还记【思维训练三】中的我们耗费极大工夫说明的那个约定吗？一个数被无限平均分后的结果为零，恰好就对应着这个反比例函数的变化趋势。由于这是一个客观事实（上节课我们说明过），而实际上类似这样，在某个范围内能够无限靠近某个数的函数还有很多，比如正切函数的某个周期内的变化情况、指数函数，对数函数的变化情况。所以，我们将给他赋予一个严格的数学概念来描述“这一类”现象。于是我们有了函数极限的定义（别告诉我你不知道函数是啥o(╯□╰)o）：对函数y=f(x)，如果自变量x在它的取值范围（定义域）内无限增大或缩小，对应的函数值y能无限靠近某个常数，我们就称常数A是函数自变量趋近于无穷大时候的极限，记作： [math]\lim\below{x\rightarrow\infty}{f\left ( x \right )=A}[/math] 无穷大∞，包括了正无穷大(+∞)和负无穷大(-∞)，为什么有时候我们可以合并起来写呢？实际上，我们的数轴，是一个以无穷远处为圆心，无穷大为半径的圆，我们平常观察的直线，只是数轴的一部分微观体现，因为这个圆太大，我们局部观察就变成直线啦！所以从这个角度看，正负无穷大都可以统称为无穷大<(￣︶￣)↗ 但是这个极限的定义不够精确，因为我们不可能为了判断一个函数是否有极限或者是极限是多少都去绘制函数的图像来观察，所以我们需要将这个定义“量化”，将它转化成运算，这样我们判断一个函数的极限的时候就可以通过算式来推导而避免绘制的麻烦啦。那么怎么用具体的量来描述函数自变量无限靠近函数极限的动态变化过程捏？我们观察x轴正半轴的反比例函数变化情况，在正半轴的定义域[0,+∞]里面（我们找了一个范围将这个函数“框住”），我们任意选择一个确定的自变量x1，总还能找到一个比它大的自变量x2，并且根据反比例函数的单调性我们知道f(x1)>f(x2)，我们又知道反比例函数无限靠近零，于是函数值f(x1)和零的距离【f(x1)-0=f(x1)】总能够大于函数值f(x2)与零的距离【f(x2)-0=f(x2)】，由于我们在范围内任意取值，所以这种情况永远都存在；即我们任意确定的自变量x1和自变量之后的量x2与零的距离逐步缩小。如果一个函数的在定义域内的某个范围内能总能满足这种情况，我们就说无限靠近的那个常数，比如这里的零，是这个函数的极限。于是我们可以这样定量的描述函数的极限：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数epslion，总是存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>X（解这个不等式，我们知道这其实就是那个框柱x的自变量取值范围-X<x<X）时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<epslion（解这个不等式，我们知道是因变量的取值范围在极限A附近，即A+epslion<f(x)<A-epslion），那么常数A就叫做函数f(x)当x->∞时候的极限。我们提炼一下这句话：自变量：-X<x<X 因变量：A+epslion<f(x)<A-epslion epslion在数学上表示要多小有多小的正数，我们发现此时我们已经将极限A给“夹逼”出来了。此外，如果函数在自变量靠近某个值x0的时候有定义（自变量不趋近于无穷大而趋近于某个值的时候），极限值就是函数值f(x0)，这没啥好说的，只是将我们正常的函数值用极限的思维归纳到极限系统里面而已。到这里，我们就可以引出我们的问题一啦：【我是可爱的问题组一，选做】 1. 利用极限定义，求证，函数[math]\frac{1}{x}[/math]，当x->∞时候的极限是0。（100灵石） 2. 利用极限定义，求证，函数[math]q^{x}[/math]其中|q|<1，当x->∞的时候的极限是0。（100灵石） 3. 利用极限定义，求证，常数的极限是它本身。（100灵石） 4. 探索自然对数的底e的定义，可以参考网上资料，谈谈你的想法（100灵石） 4. 探索[math]\frac{sin(x)}{x}[/math]当x->0的时候的极限是1，谈谈你的想法（100灵石） 5. 证明极限运算法则，和的极限 = 极限的和（100灵石） 6. 证明极限运算法则，差的极限 = 极限的差（100灵石） 7. 证明极限运算法则，积的极限 = 极限的积（100灵石） 8. 证明极限运算法则，商的极限 = 极限的商其中分母不为零（100灵石）以上这些极限证明后解题都可以直接用哈，所以我们有了第二题【我是可爱的问题组二，用上面证明的结论求下面函数的极限】 1. [attach]494294[/attach] （100灵石） 2. [attach]494295[/attach] （100灵石） 3. [attach]494296[/attach] （100灵石） 4. [attach]494297[/attach] （100灵石） 5. [attach]494298[/attach] （100灵石）二、导数三、积分停，我这不是变成课本了嘛……我感觉解释这些概念推导其中的东西实在是太麻烦惹，我们直接进入下一章吧……噗我感觉概念还是在解题的时候解释会方便点儿……囧

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【思维训练三】微积分（一）

作者:Blue_sdo

[block4]我是可爱的问题[/block4] [article5]【前提】我们约定，当一个东西被无限平均分的结果为零。感到疑惑没关系，我们在后面能够说明这个结论是多么的正确。[/article5]

[article1] 1. 用你能想到的方法证明 0.333... = 1/3（将零点三，三循环化成分数）（30分/灵石）[/article1] [article2] 2. 解方程（30分/灵石）[/article2] [attach]494272[/attach] [article5] 3. 类比我们小学学过的圆的面积的推导方法，推导球体的面积体积。(200分/灵石)【这题我改下，有点不对】[/article5]

[block4]碎碎念[/block4] [article3]写太多了大家都不看，我直接这样好啦……emmmm。这几个问题可以拓展出一些有趣的知识点，我看大家的答题情况，在二楼给出一些思考。（做不出来没关系，你只要尝试了，上传尝试的过程或者尝试失败的想法，照样能拿满灵石哦！）[/article3]

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【度盘】高中数学电子课本全套【人教社】

作者:Blue_sdo

【人教A版】 [attach]494216[/attach] 【人教B版】 [attach]494217[/attach] 【下载地址】链接:https://pan.baidu.com/s/1EAVh0CI4ci-f5M05tnEIZQ 提取码:【本内容已隐藏，回复后刷新可见哦】有缺少部分选修。

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【度盘】看不懂的数学入门指南

作者:Suzuki_study

上传一点点资料攒一点欧气～链接: https://pan.baidu.com/s/11xSMxcnSj4zGhSalh2aQCQ 提取码: 【本内容已隐藏，回复后刷新可见哦】实话说我觉得有点硬核）

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【考前复习系列】函数知识串讲

作者:Blue_sdo

emmmmm，分享一下我的学习心得（划重点——不一定对哈，这不是教学，只是分享！），建议1.5倍速度观看…… 诱导公式那里有点小错误 {:37_9019:} https://www.bilibili.com/video/av75188592

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关于“零”的定义

作者:Blue_sdo

数学上，对零的定义，有点奇怪，你会发现，所有的数学规律，碰上了零，都要单独考虑。这里的任何数，可以是已知数域的最大范围（大概吧？我们暂且认为是实数范围吧）比如我们为了满足计算需求做了给零的运算作了如下的定义： 1. 零乘任何数都得零 2. 任何数除以零均没有意义 3. 零的阶乘是一 4. 任何数的零次方等于一 …… 习惯上，我们会使用一个统一的规律一以贯之所有的情况，可是你会发现这些东西遇上零就失效了我们来研究一下上面的定义1：实际上，乘法的诞生来自于加法 “n个a”相加我们记作“n*a” 然后习惯上我们将“零”看作是“没有” 于是0个a相加自然还是0。那么定义1理解上应该没啥问题。那么我们再来看看定义2。谁都知道除法是乘法的逆运算，根据一个统一的规律 m*n = m/(1/n) 然后这条或许适用于所有数的规律在零这里出现异常了 a*0 = a*(1/0) = a/0 = ? 将定义1，零乘任何数都得零倒过来，自然是零除以任何数都得零① 这条满足定义本身，0/a = 0*(1/a) 任何数除以0得任何数② a/0 = w? 这条如果成立，整个数学的运算体系就乱套了，各种矛盾层出于是我们不得不规定，m*n = m/(1/n)，其中n≠0 然后我们知道一件事，几何原本中规定点没有大小，即大小（长度为零），同时又规定线段上有无数个点（点动成线），那么假设一条线段长度为a，我们有（其中∞为无穷大符号） 0*∞ = a。 a/0 = ∞。（根据已知的性质，等式两边同时除以零或同时除以无穷大，都无法运算，这条只能根据乘除互为逆运算这个根本原理猜测出）我们前面不是说零乘任何数都得零吗？这条扯淡推论是什么玩意儿？别急，学过极限理论的我们同时还知道 lim(n->∞)[(a/n)] = 0（当n趋近于无穷大的时候，a除以n的极限是零）诶？前面推出来的诡异的结果好像和这个有点儿像…… 零和无穷大好像有冥冥中的一些转换关系？无穷大的倒数是零？零的倒数是无穷大？（本来零的倒数就无意义，要不然我们强行给它一个定义？）当然不行。很容易能够发现一些基本算数矛盾，比如违背了上面的定义1。所以我们规定了一种全新的运算叫做极限，试图避开修改基本算数原理来解决这个问题。前面提到了一个东西叫做无穷大，我们虽然强行将它运用在了乘法里，但是这玩意儿……无穷大是多少大？无穷多个零相加…… 为什么会有无穷这个东西？因为有一个显而易见的事实是 (1/3)+(2/3) = 1 即0.9999... = 1 这后面的9有无穷多个。并且0.9999可以写成 (9/10)+(9/10的平方)+...(9/10的n次方) 并且这里的n=1,2,3.....∞ 所以，首先，这个基本的算式告诉我们，“无穷”是客观存在的，至于它存在的形式嘛…… 可能是当初人类规定算数原理的时候不够完备的副作用吧…… 在学极限的时候，你会发现一个事实，无穷大和零一样奇怪，任何东西碰到无穷大，计算都要被重定义，前面我们又有一个猜测，零和无穷大有着某种转换关系…… 所以…… 也许当你彻底理解了零，也就能理解无穷大有多大了吧一边是彻底的“无”，一边是彻底的“满”，二者有关联似乎印证了中国古代对立又统一的辩证思想——矛盾在一定条件下可以互相转化。当然这里我们不深入讨论哲学问题，上面研究了半天，我们其实都在在研究一个问题，那就是：一个东西无限平均分后，是否会变成没有的问题。实际上，点动成线线动成面面动成体前一个维度的无穷却是下一个维度的开始，似乎也符合相对论我们看起来是“零”的东西，无限积累，最终会促成质变不过我们当前的算数体系有些许的局限性，不足以彻底帮助我们精确描述这种动态变化的情况人们尝试使用极限来解决它，却也没有能够彻底解决而这个问题，也是求圆相关问题的关键。我们都知道圆周率是一个无限不循环小数，是一个超越数（待续）

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【度盘】高中数学课程分享

作者:冉冉冉

如题，分享的是苗金利老师的数学课程【其实是从蓝大那里拿到的资源】，其中还有讲义，建议看视频前先将讲义大体看一遍链接:https://pan.baidu.com/s/1aZ74ryJi8fJ-JdC84_tZqw 提取码:【本内容已隐藏，回复后刷新可见哦】

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