为了回答【思维训练三】的最后一问“探索球的体积公式”，我们来认识一些概念。#7126!
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很容易就能发现这些性质啦！ 自变量x的取值范围（定义域）：[math]- \infty \leq x \leq + \infty[/math] 因变量y的取值范围（定义域）：[math]- \infty \leq y \leq 0[/math]和[math]0 \leq y \leq + \infty[/math] 在x轴正半轴，随着x的增大，函数值y越来越靠近0 在x轴负半轴，随着x的减小，函数值y越来越靠近0 还记【思维训练三】中的我们耗费极大工夫说明的那个约定吗？ 一个数被无限平均分后的结果为零，恰好就对应着这个反比例函数的变化趋势。 由于这是一个客观事实（上节课我们说明过），而实际上类似这样，在某个范围内能够无限靠近某个数的函数还有很多，比如正切函数的某个周期内的变化情况、指数函数，对数函数的变化情况。 所以，我们将给他赋予一个严格的数学概念来描述“这一类”现象。 于是我们有了函数极限的定义（别告诉我你不知道函数是啥o(╯□╰)o）： 对函数y=f(x)，如果自变量x在它的取值范围（定义域）内无限增大或缩小，对应的函数值y能无限靠近某个常数，我们就称常数A是函数自变量趋近于无穷大时候的极限，记作： [math]\lim\below{x\rightarrow\infty}{f\left ( x \right )=A}[/math] 无穷大∞，包括了正无穷大(+∞)和负无穷大(-∞)，为什么有时候我们可以合并起来写呢？ 实际上，我们的数轴，是一个以无穷远处为圆心，无穷大为半径的圆，我们平常观察的直线，只是数轴的一部分微观体现，因为这个圆太大，我们局部观察就变成直线啦！所以从这个角度看，正负无穷大都可以统称为无穷大<(￣︶￣)↗ 但是这个极限的定义不够精确，因为我们不可能为了判断一个函数是否有极限或者是极限是多少都去绘制函数的图像来观察，所以我们需要将这个定义“量化”，将它转化成运算，这样我们判断一个函数的极限的时候就可以通过算式来推导而避免绘制的麻烦啦。 那么怎么用具体的量来描述函数自变量无限靠近函数极限的动态变化过程捏？ 我们观察x轴正半轴的反比例函数变化情况，在正半轴的定义域[0,+∞]里面（我们找了一个范围将这个函数“框住”），我们任意选择一个确定的自变量x1，总还能找到一个比它大的自变量x2，并且根据反比例函数的单调性我们知道f(x1)>f(x2)，我们又知道反比例函数无限靠近零，于是函数值f(x1)和零的距离【f(x1)-0=f(x1)】总能够大于函数值f(x2)与零的距离【f(x2)-0=f(x2)】，由于我们在范围内任意取值，所以这种情况永远都存在；即我们任意确定的自变量x1和自变量之后的量x2与零的距离逐步缩小。如果一个函数的在定义域内的某个范围内能总能满足这种情况，我们就说无限靠近的那个常数，比如这里的零，是这个函数的极限。于是我们可以这样定量的描述函数的极限： 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数epslion，总是存在着正数X，使得当x满足不等式|x|>X（解这个不等式，我们知道这其实就是那个框柱x的自变量取值范围-X<x<X）时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<epslion（解这个不等式，我们知道是因变量的取值范围在极限A附近，即A+epslion<f(x)<A-epslion），那么常数A就叫做函数f(x)当x->∞时候的极限。 我们提炼一下这句话： 自变量：-X<x<X 因变量：A+epslion<f(x)<A-epslion epslion在数学上表示要多小有多小的正数，我们发现此时我们已经将极限A给“夹逼”出来了。 此外，如果函数在自变量靠近某个值x0的时候有定义（自变量不趋近于无穷大而趋近于某个值的时候），极限值就是函数值f(x0)，这没啥好说的，只是将我们正常的函数值用极限的思维归纳到极限系统里面而已。 到这里，我们就可以引出我们的问题一啦： 【我是可爱的问题组一，选做】 1. 利用极限定义，求证，函数[math]\frac{1}{x}[/math]，当x->∞时候的极限是0。（100灵石） 2. 利用极限定义，求证，函数[math]q^{x}[/math]其中|q|<1，当x->∞的时候的极限是0。（100灵石） 3. 利用极限定义，求证，常数的极限是它本身。（100灵石） 4. 探索自然对数的底e的定义，可以参考网上资料，谈谈你的想法（100灵石） 4. 探索[math]\frac{sin(x)}{x}[/math]当x->0的时候的极限是1，谈谈你的想法（100灵石） 5. 证明极限运算法则，和的极限 = 极限的和（100灵石） 6. 证明极限运算法则，差的极限 = 极限的差（100灵石） 7. 证明极限运算法则，积的极限 = 极限的积（100灵石） 8. 证明极限运算法则，商的极限 = 极限的商 其中分母不为零（100灵石） 以上这些极限证明后解题都可以直接用哈，所以我们有了第二题 【我是可爱的问题组二，用上面证明的结论求下面函数的极限】 1. [attach]494294[/attach] （100灵石） 2. [attach]494295[/attach] （100灵石） 3. [attach]494296[/attach] （100灵石） 4. [attach]494297[/attach] （100灵石） 5. [attach]494298[/attach] （100灵石） 二、导数 三、积分 停，我这不是变成课本了嘛……我感觉解释这些概念推导其中的东西实在是太麻烦惹，我们直接进入下一章吧……噗 我感觉概念还是在解题的时候解释会方便点儿……囧
